Найдите угол бад четырехугольника авсд
На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 72°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Пусть точка O — центр окружности. Угол AOB — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 72°. Треугольник AOB — равнобедренный. Значит,
Таким образом, поскольку угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 54° = 36°.
Читатели, знакомые с теоремой «Угол между хордой и касательной равен половине дуги, стягиваемой хордой», могут решить эту задачу в одно действие: ∠ABC = 72° : 2 = 36°.
На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 56°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Пусть точка O — центр окружности. Угол AOB — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 56°. Треугольник AOB — равнобедренный. Значит,
Таким образом, поскольку угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 62° = 28°.
Читатель, знающий правило «Угол между хордой и касательной равен половине дуги, стягиваемой хордой», может решить эту задачу в одно действие:
Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Впишем в окружность квадрат так, как показано на рисунке. Стороны квадрата отсекают на окружности равные дуги. Поэтому градусная мера дуги AC, на которую опирается угол ABC, составляет 
полного угла 360°, т. е. равна 270°. Угол ABC вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Следовательно, угол ABC равен 135°.
На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 92°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Пусть точка O — центр окружности. Угол AOB — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 92°. Треугольник AOB — равнобедренный. Значит,
Таким образом, поскольку угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 44° = 46°.
На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 152°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Пусть точка O — центр окружности. Угол AOB — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 152°. Треугольник AOB — равнобедренный. Значит,
Таким образом, поскольку угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 14° = 76°.
Найдите угол 
. Ответ дайте в градусах.
Угол опирается на дугу, градусная мера которой составляет 
всей окружности, т.е. 
градусов. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, т.е. 
Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Угол опирается на дугу, которая составляет четверть окружности, т.е. 90°. Так как угол — вписанный, то он равен половине дуги, т.е. 45°
Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Проведем дополнительные построения. Угол 
— центральный и равен 135°. Угол опирается на ту же дугу, что и угол , но является вписанным, поэтому равен половине угла 
т.е. 67,5°.
Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Центральный угол равен 135°. Большая дуга 
равна 360°-135°=225°. Угол опирается на эту дугу, но является вписанным и равен половине этой дуги, т.е. 112,5°.
Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Проведём дополнительное построение, как показано на рисунке. Заметим, что тангенс угла 
равен единице, следовательно, центральный угол равен 45°. Угол опирается на ту же дугу, что и , но является вписанным и равен половине угла , т. е. 22,5°.
Источник
Найдите угол бад четырехугольника авсд
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 38°, угол CAD равен 54°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 54°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 138°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 83°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 77°, угол CAD равен 43°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 43°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 56°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 42°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 78°, угол CAD равен 40°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 40°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 112°, угол CAD равен 70°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 70°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 39°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 55°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 16°, угол CAD равен 32°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 32°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 82°, угол CAD равен 28°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 28°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 120°, угол CAD равен 74°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 74°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 6, DK = 10, BC = 12. Найдите AD.
Угол BAD и угол BCD — вписанные углы, опирающиеся на противоположенные дуги.
Следовательно: 
Так как углы BCK и BCD смежные, то 
Значит, 
Треугольники AKD и CKB подобны по первому признаку ( 
и 
— общий).
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 12, DK = 16, BC = 24. Найдите AD.
Угол BAD и угол BCD — вписанные углы, опирающиеся на противоположенные дуги.
Следовательно:
Так как углы BCK и BCD смежные, то
Значит,
Треугольники AKD и CKB подобны по первому признаку ( и — общий).
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 136°, угол CAD равен 82°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Углы 
и 
опираются на одну дугу 
следовательно, они равны. Найдём угол 
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Углы 
и 
опираются на одну дугу следовательно, они равны. Найдём угол
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Проведём через точку D прямую, параллельную диагонали AC. Дуги AL и CD равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды: 
Вертикальные углы AKB и CKD равны. Углы CKD и LDK равны как накрест лежащие: 
Четырёхугольник ABDL вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна 180°: 
Рассмотрим треугольник ABL. По теореме косинусов
Найдём радиус описанной вокруг треугольника ABL окружности по теореме синусов:
Ответ: 
Приведём другое решение.
Передвинем хорду 
так, чтобы она стала параллельна стороне 
(см. рисунок). Заметим, что при таком движении угол 
остаётся равен 60°, поскольку он равен полусумме дуг и 
Параллельные прямые отсекают равные дуги, поэтому дуги 
и 
равны. Углы 
и 
равны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Таким образом, треугольник 
— равнобедренный:
Все углы треугольника равны 60°, следовательно, треугольник значит, 
Аналогично можно показать, что треугольник — равносторонний, откуда 
В треугольнике BDC находим 
По теореме косинусов:
По теореме синусов: 
Приведём другое решение.
Рассмотрим треугольник 
сумма углов треугольника равна 180°: 
Углы и 
являются смежными, следовательно, 
откуда:
Пусть 
— радиус описанной окружности, угол 
обозначим как 
Рассмотрим треугольник 
он вписан в окружность, следовательно, по теореме синусов:
Аналогично, из треугольника 
Разделим на 
Найдём 
Таким образом, радиус описанной окружности равен:
Приведем еще одно решение.
Углы ABD и ACD равны, поскольку опираются на одну дугу. Пусть 
В треугольнике KCD по теореме синусов
В треугольнике ABK по теореме синусов
В треугольнике AKD по теореме косинусов
В треугольнике ACD по теореме синусов
Источник